「外星人」的行為藝術

有報導指，上個月又有奇異的「麥田圈」在英國出現。「外星人」真無聊，好搞唔搞搞行為藝術，還總要在英國的麥田上搞。

「香港的西九文娛藝術區好失禮你咩？為何不來西九搞？西九又不是 D9 ，反正你來香港也無需簽證，更何況你搞的是『另類塗鴉』，又不是民主女神。就算你要搞民主女神，你說是千年女王就可以了，入境處奈得你乜嘢何？難道你怕了食環署？縱然西九只有雜草，但以你的高科技及創意，又豈會只在麥田才搞得出什麼？」

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原來「外星人」不止精通數學，還懂電腦，甚至乎地球人的電腦。上個月出現的麥田圈，從圓心輻射出十二條骨，每條骨皆有八節橫枝，有的向左，有的向右。若向左的代表 0 ，向右的代表 1，從內向外讀，這十二條骨便可視為十二個八位二進數，以照片﹝見上述報導﹞裡一點鐘方向的那條骨為例，如下圖示：



從一點鐘方向的那條骨開始，順時針方向列出十二條骨所代表的二進數，即為：

01100101

01011110

00101000

01101000

01101001

00101001

01110000

01101001

00101001

00110001

00111101

00110000

若將這十二個二進數化為十進數﹝舉以上第一個數 01100101 為例：0*2⁷+1*2⁶+1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=101﹞，就是：

101　94　40　104　105　41　112　105　41　49　61　48

要不然自已用個 converter 試一試！

再以電腦系統用的 ASCII 碼來個對照，就發現這十二個十進數 Dec[imal] 代表以下十二個字符﹝ Ch[a]r[acter] ﹞：

e　^　(　h　i　)　p　i　)　1　=　0

這條數式與歐拉恆等式﹝ Euler's Identity： e^iπ+1=0 ﹞真的有八分相似。歐拉恆等式有「世上最美麗的之數學定理」之美譽，它將數學世界裡三個最基本的常數 e、i﹝= -1 的平方根﹞、π 連結起來。

由於純文字檔﹝ text file ﹞不支援上標﹝ superscript ﹞及希臘字母，懂電腦的人或會以「 ^ 」代表數式裡的冪﹝ power ﹞及以「 pi 」代表 π 。最奇怪的是連「外星人」都有這「習慣」。若數式是寫給地球人看的，為何不直截了當地將數式「寫」出來？總好過搞一大餐只搞出條八分似的歐拉恆等式畀人笑。

「外星人」可能不知道除了 ASCII 碼，地球人還發明了延伸 ASCII 碼﹝ Extended ASCII code ﹞。 π 的延伸 ASCII 碼的十進碼是 227 ，二進碼就是 11100011 ，一個八位數，清脆利落；「外星人」倒要用兩個八位二進數來表示「 pi 」，究竟他算是先進還是落後？也許他先進得來又有點蠢！

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以下是給「外星人」的訊息：
0100111001001111001000000100011101010010010000010100011001000110010010010101010001001001001011000010000001010000010011000100010101000001010100110100010100100001

意謂：「NO GRAFFITI, PLEASE!」

數字的謎與思

我最近才知道， 26 這個數字好特別，它正正落在 25 之後， 27 之前， 25 正是 5 的平方， 27 則是 3 的三次方，在云云自然數﹝1,2,3,...﹞之中，就只有 26 是夾在一個整數的平方與一個整數的三次方之間。

或許你已急不及待，欲吐出一大堆你認為同樣「特別」，甚至更「特別」的數字，如 0 是唯一夾在負與正之間的整數， 1 是唯一大個 0 但少於 2 的整數之類。沒有錯，所謂「特別」與否只視乎怎樣看，你甚至可以話：──

「任何一個數字都很特別，因為都是獨一無二。」

「你等攞邵逸夫獎喇！」

能洞察出 26 夾在5 的平方及 3 的三次方之間並不出奇；但要以邏輯證明「 26 是唯一夾在一個整數的平方與一個整數的三次方之間的自然數」，就不是凡人可做得到。唔信自己試吓！若不出我所料，你亦只能慨嘆自己是個凡人。

最初指出及證明 26 具有上述特點的人，就是大名鼎鼎的費瑪﹝ Pierre de Fermat ﹞。

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很多人都知道費瑪是十七世紀的法國數學家，其實他的正職是法官，閒時埋首於數學，在他心目中，搞數學只為娛樂，但他卻搞得有聲有色，比很多全職學者還要出名，在費瑪眾多的發現之中，上述的「 26 定理」只是小兒科。

話說費瑪生前一邊看 Arithmetica ﹝古希臘數學家 Diophantus 的著作﹞，一邊在書頁邊緣的空白位置摘下自己的觀點，當中不乏由他最先提出的數學定理，可是他沒有將證明定理的方法記下。直至費瑪去世，他的兒子將那本滿載父親觀點的 Arithmetica 重新出版發行，並將書命名為 Diophantus' Arithmetica Containing Observations by P. de Fermat ，後世數學家將費瑪提出的定理逐一證明，最後剩下一條，三百多年來都沒有人可以證明得到，這條就是「費瑪最後定理」﹝ Fermat's Last Theorem ﹞：

若 n 為大過 2 的整數，就沒有自然數 x ， y 及 z 能符及 xⁿ+yⁿ=zⁿ

費瑪在他那本 Arithmetica 內以拉丁文註明：

"Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet "

﹝中譯：要證明這個命題，我有個令人歎為觀止的方法，但這個頁邊太窄寫不下﹞

有人搜過費瑪的故居，卻遍尋不獲那傳說中的證明。有人懷疑費瑪故弄玄虛，他根本沒有成功證明出這條「定理」﹝證明得到才算是定理！﹞，甚至有人認為這條所謂「定理」本身就不存在證明的方法，亦有人孜孜不倦，不斷為證明費瑪最後定理燃燒青春。

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1963 年的某一天， Andrew Wiles 放學回家，途中去了圖書館，偶然找到一本數學書，被費瑪最後定理深深吸引，他立志要證明費瑪最後定理，當時他十歲。

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你看！世上就是有人這麼有 heart 。你可能對費瑪最後定理莫不關心，卻會因 ﹝36, 24, 36﹞ 而思潮起伏；你可能對尋求真理毫無興趣，卻會為六個印在顏色小球上的數字而神思恍惚。哎！那又不是什麼罪，算了吧！有人不是君子而「坦蕩蕩」，有人不是小人而「長戚戚」；人生其實好簡單 ── 旨在無怒無悔地追求各自心中的「樂悠悠」。

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1995 年，費瑪最後定理終於被證明是定理，從 1637 年費瑪提出這條定理計起，足足搞了三百五十八年。成功證明費瑪最後定理的是一名英國數學家，他的名字是 Andrew Wiles 。


參考資料：
Fermat's Last Theorem, Simon Singh, Fourth Estate, ISBN 1-85702-669-1