2010年6月3日星期四

數字的謎與思

我最近才知道, 26 這個數字好特別,它正正落在 25 之後, 27 之前, 25 正是 5 的平方, 27 則是 3 的三次方,在云云自然數﹝1,2,3,...﹞之中,就只有 26 是夾在一個整數的平方與一個整數的三次方之間。

或許你已急不及待,欲吐出一大堆你認為同樣「特別」,甚至更「特別」的數字,如 0 是唯一夾在負與正之間的整數, 1 是唯一大個 0 但少於 2 的整數之類。沒有錯,所謂「特別」與否只視乎怎樣看,你甚至可以話:──

「任何一個數字都很特別,因為都是獨一無二。」

「你等攞邵逸夫獎喇!」

能洞察出 26 夾在5 的平方及 3 的三次方之間並不出奇;但要以邏輯證明「 26 是唯一夾在一個整數的平方與一個整數的三次方之間的自然數」,就不是凡人可做得到。唔信自己試吓!若不出我所料,你亦只能慨嘆自己是個凡人。

最初指出及證明 26 具有上述特點的人,就是大名鼎鼎的費瑪﹝ Pierre de Fermat ﹞。

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很多人都知道費瑪是十七世紀的法國數學家,其實他的正職是法官,閒時埋首於數學,在他心目中,搞數學只為娛樂,但他卻搞得有聲有色,比很多全職學者還要出名,在費瑪眾多的發現之中,上述的「 26 定理」只是小兒科。

話說費瑪生前一邊看 Arithmetica ﹝古希臘數學家 Diophantus 的著作﹞,一邊在書頁邊緣的空白位置摘下自己的觀點,當中不乏由他最先提出的數學定理,可是他沒有將證明定理的方法記下。直至費瑪去世,他的兒子將那本滿載父親觀點的 Arithmetica 重新出版發行,並將書命名為 Diophantus' Arithmetica Containing Observations by P. de Fermat ,後世數學家將費瑪提出的定理逐一證明,最後剩下一條,三百多年來都沒有人可以證明得到,這條就是「費瑪最後定理」﹝ Fermat's Last Theorem ﹞:

若 n 為大過 2 的整數,就沒有自然數 x , y 及 z 能符及 xn+yn=zn

費瑪在他那本 Arithmetica 內以拉丁文註明:

"Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet "

﹝中譯:要證明這個命題,我有個令人歎為觀止的方法,但這個頁邊太窄寫不下﹞

有人搜過費瑪的故居,卻遍尋不獲那傳說中的證明。有人懷疑費瑪故弄玄虛,他根本沒有成功證明出這條「定理」﹝證明得到才算是定理!﹞,甚至有人認為這條所謂「定理」本身就不存在證明的方法,亦有人孜孜不倦,不斷為證明費瑪最後定理燃燒青春。

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1963 年的某一天, Andrew Wiles 放學回家,途中去了圖書館,偶然找到一本數學書,被費瑪最後定理深深吸引,他立志要證明費瑪最後定理,當時他十歲。

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你看!世上就是有人這麼有 heart 。你可能對費瑪最後定理莫不關心,卻會因 ﹝36, 24, 36﹞ 而思潮起伏;你可能對尋求真理毫無興趣,卻會為六個印在顏色小球上的數字而神思恍惚。哎!那又不是什麼罪,算了吧!有人不是君子而「坦蕩蕩」,有人不是小人而「長戚戚」;人生其實好簡單 ── 旨在無怒無悔地追求各自心中的「樂悠悠」。

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1995 年,費瑪最後定理終於被證明是定理,從 1637 年費瑪提出這條定理計起,足足搞了三百五十八年。成功證明費瑪最後定理的是一名英國數學家,他的名字是 Andrew Wiles 。


參考資料
Fermat's Last Theorem, Simon Singh, Fourth Estate, ISBN 1-85702-669-1